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硬币的几率究竟是二分之一还是三分之一

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发表于 2018-2-28 10:10 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
传说有个睡美人,在一个周日的夜晚被一群科学家召去做试验。

她被告知实验过程如下:
她先会在当晚洗洗后上床睡觉。
然后科学家们就会扔个硬币,如果朝上的话,她将会在周一早晨被科学家叫醒,然后进行访问,实验结束。

如果朝下的话,她同样会被在周一叫醒,进行同样的访问,但是这次访问完毕后她会被灌失忆药,让她忘记她曾经被叫醒过。吃完药后被安置回床睡,周二早上再次叫醒,进行访问。实验结束。

而每次访问的问题就是:你觉得硬币朝上的概率是多少?

有人认为概率总是1/2,因为这是世间公理。

有人认为概率应该是1/3,因为可能性只有“硬币朝上,在周一醒来”“硬币朝下,在周一醒来”和“硬币朝下,在周二醒来”三种,按照统计学原理P(A)=A发生的次数/事件发生的总次数来算才能得到正确答案。

这的确让人苦恼,因为硬币朝下的概率为1/2是一个不可能撼动的绝对真理(仅限三维空间)。

事实上,回答1/2和1/3的人完全将这个题目理解成了两个不同的问题。这个哲学(数学)问题困扰人的地方就在于:这个实验中访问时的提问存在严重歧义,提问者有意识或无意识地将这个问题的题干模糊化了。

那么,回答1/3的人究竟将这个问题理解成什么了呢?我们举几个例子就懂了。

问题①:假设神在创造世界的时候玩硬币,TA扔了一枚硬币,朝上的时候就创造一个世界,朝下的时候就创造两个世界。现在我们在这三个世界中的一个世界,请问我们在硬币朝上的世界中生活着的概率为多少?

回答①:毫无疑问,答案是1/3,我们“活在”任何一个世界里的几率都为1/3。神“创造”世界的这个动作与我们“活在”世界里这两个动作是截然不同的,无法用同一个题干概括。
以上这个问题告诉了我们答案1/2与1/3共存的合理性。因为这完全是两个问题嘛。
那么为什么这两个问题能够写到一个题干里?我们来看问题②。

问题②(本题有两个小问):假设我们玩抓娃娃机。这个娃娃机比较特别,内部被分成了A区和B区,在AB区的中间有一个抓手。机器外面有且只有一个按钮,按下按钮后抓手全自动操作,保证100%能帮你抓到娃娃。机器被不透明的金属包着,身处机器外部的我们看不到里面的具体情况。

现在有一个世人皆知的潜规则:这个娃娃机的抓手移向A区和B区的概率是相同的,即各为1/2。在A区只有一个娃娃,在B区有两个娃娃。现在抓出来了一个娃娃。请问娃娃机的抓手移向A区的概率为多少?请问抓出来的娃娃是A区的概率为多少?

回答②:这下看出问题来了吧?第一个小问问的是“还没抓娃娃的时候会怎样,推测接下来将要完成的动作是向A移动还是向B移动”,而移动这件事毫无疑问是五五开的,即1/2。而第二小问呢?此时问的是“娃娃已经被抓出来了,推测这个娃娃归属于A区还是B区”。

如果问题①还是太过抽象无法理解,那么问题②应该非常具体了:“机械抓手向A区移动的概率”与“娃娃归属于A区的概率”完全是两码事。但是作为提问者,我完全可以把两个问题杂糅在一起——“请问机械抓手抓了A区还是B区?”


再回到睡美人问题上来。去除这个背景条件,一般人在被问到“你觉得硬币朝上的概率是多少”这个问题的时候,毫无疑问会回答1/2。因此这时候你会发现所谓的难题只不过是文字游戏而已。

让我做一个了断吧:硬币朝上的概率为1/2,睡美人醒在“因硬币朝上而创造的世界”之中的概率为1/3。
(証明終わり)
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